Spektrale Netze und Fock-Goncharov Koordinaten

Die Theorie der spektralen Netze wurde von D. Gaiotto, G. W. Moore and A. Neitzke während ihrer Forschung über supersymmetrische Feldtheorie in der Physik entwickelt. Diese Konstruktion ist aber auch vom großen Interesse für die Differentialgeometrie, insbesondere für die Theorie der geometrischen Strukturen auf Flächen.

In dieser Masterarbeit wird die Konstruktion von Darstellungen der Fundamentalgruppe einer Fläche in eine Matrix-Lie-Gruppe mit Hilfe der Nicht-Abelisierungsabbildung spektraler Netze diskutiert. Insbesondere wird der Fall der kleinen spektralen Netze untersucht. Kleine spektrale Netze von Rang 2 und 3 werden besonders ausführlich studiert. Es wird der Zusammenhang zwischen spektralen Netzen und projektiver Geometrie analysiert. Wir zeigen, dass ein flacher Zusammenhang und eine Triangulation der Fläche uns die Familie der projektiven Invarianten liefern, und zwar Doppelverhältnisse für spektrale Netze von Rang 2 und Fock-Goncharov Koordinaten für spektrale Netze von Rang 3. Wir untersuchen, inwiefern diese projektiven Invarianten den flachen Zusammenhang auf der Fläche bestimmen, und zeigen, dass spektrale Netze Koordinaten auf der Charaktervariet ̈at der Fundamentalgruppe einer Fläche mit Werten in einer Matrix-Lie-Gruppe liefern. Insbesondere stimmen diese Koordinaten mit Doppelverhältnissen im Fall der spektralen Netze von Rang 2 und mit Fock-Goncharov Koordinaten in einigen Fällen von spektralen Netzen von Rang 3 überein. Zum Schluss fu ̈hren wir andere Koordinaten ein, die ähnlich zu Fock-Goncharov Koordinaten sind, aber natürlicher in unserem Fall sind, weil sie mit den Homotopiekonstanten von geschlossenen Kurven auf der Fläche übereinstimmen. Wir untersuchen auch, wie sich diese Koordinaten ̈andern, wenn wir eine andere Triangulation der Fläche wählen.