Die Definition der euklidischen Geometrie über die Abstandsfunktion

Vorwort:

Die folgende Arbeit, welche unter dem Titel ”die Definition der euklidischen Geometrie ¨uber die Abstandsfunktion“ steht, soll einen Aufbau der Ebenen euklidischen Geometrie mit Hilfe der Abstandsfunktion ermöglichen. Es wird hierbei axiomatisch die ebene euklidische Geometrie mit Hilfe der Verbindung von zweier der Arbeit zugrunde liegender Hauptquellen [1] und [2] eingeführt werden.

Bevor wir uns dem Kern der Thematik widmen, werden wir uns in Kapitel 2 zunächst einige Grundlagen aus der Analysis ins Gedächtnis rufen, welche die zentralen Begrifflichkeiten zum Verständnis der Arbeit enthalten und auf einfache Beispiele zurückgreifen. Im Anschluss wird im Hauptteil der Arbeit der axiomatische Aufbau der euklidischen Geometrie mit Hilfe der Abstandsfunktion im Fokus stehen. Zur Verifizierung dieser Axiome werden wir ein einfaches Modell betrachten, den \(\mathbb{R}^2\) versehen mit dem Standardskalarprodukt, und hierbei Schritt für Schritt zeigen, dass wir hiermit ein Modell gefunden haben, welches offensichtlich unsere Axiome
erfüllt. Diesen axiomatischen Aufbau beginnen wir zunächst in Kapitel 3 mit der Definition der ebenen euklidischen Geometrie durch die Einführung der Abstands- bzw. Geradenaxiome. Diese Axiome werden natürlich mit Hilfe der Abstandsfunktion dargestellt. Im Anschluss an die axiomatische Einführung mit Hilfe der Abstandsfunktion stellen wir im darauffolgenden Kapitel 4 die Thematik der linearen Mengen dar, welche wichtig für die vollständige Definition der euklidischen Geometrie sind. Im weiteren Ver-
lauf ergänzen wir nun unsere bisherigen Axiome durch Strecken-, Winkel- und Kongruenzaxiome (Kapitel 5), bis wir schließlich als letzten axiomatischen Aspekt über das Axiom von Pasch zum Kontinuitätsaxiom gelangen (Kapitel 6). Im 7. Kapitel schauen wir uns exemplarisch an, inwiefern sich Hilberts Axiomensystem relativ einfach aus den hier über die Abstandsfunktion angeführten Axiomen ableiten lässt und wir somit die ebene Geometrie vollständig eingeführt haben. Nach dem theoretischen, axiomatischen Teil gehen wir dann in einen Anwendungsteil über, welcher sich mit dem Thema der Inkommensurabilität von Strecken (Kapitel 8) beschäftigt und den Beweis der Inkommensurabilität von Seite und Diagonale im regelmäßigen Pentagramm enthält. Als weiterer Anwendungspunkt steht dann die Formulierung und der Beweis der Strahlensätze im Vordergrund (Kapitel 9), welcher auch unter dem Aspekt betrachtet wird, ob denn die allgemein bekannten Strahlensätze auch für inkommensurable Strecken gelten. Zum
Ende der Arbeit soll mit einer Orientierung an die vorangegangenen Kapitel versucht werden ein Schulbezug (Kapitel 10) herzustellen, welcher die Thematik der Abstände und Abstandsberechnung unter Berücksichtigung des alltäglichen Anwendungsbezugs versucht zu verknüpfen.