Das Poincaré-Birkhoff Fixpunkttheorem und Anwendungen auf Billards

Einleitung:

Kurz vor seinem Tod im Jahre 1912, formulierte ein bedeutender französischer Mathematiker, Henri Poincaré, das sogenannte Poincaré-Birkhoff Fixpunkttheorem oder auch Poincarés letztes geometrisches Theorem. Aus Zeitgründen gelang es Poincaré jedoch nicht, das Theorem im Allgemeinen, sondern lediglich in Spezialfällen, zu beweisen. Überraschenderweise wurde wenige Monate nach der Herausgabe des Theorems ein Beweis von George D. Birkhoff vorgestellt. In der vorliegenden Bachelorarbeit werden ebendieses Theorem und einige Anwendungen dessen auf die Theorie der Billards untersucht.
Das Poincaré-Birkhoff Fixpunkttheorem befasst sich mit der Existenz von mindestens zwei Fixpunkten für einen sogenannten flächenerhaltenden Homöomorphismus auf einem Kreisring. Angewandt auf ein geometrisches Problem, genauer gesagt das Billardkugelproblem, liefert dieses Theorem die Existenz unendlich vieler unterschiedlicher periodischer Orbits auf einem strikt konvexen Billardtisch. Um eine eingehende Auseinandersetzung mit dem Poincaré-Birkhoff Fixpunkttheorem zu ermöglichen, soll dieses Theorem zu Beginn motiviert und die für dessen Statuierung nötigen Notationen eingeführt werden. Nachdem die genaue Aussage des Poincaré-Birkhoff Fixpunkttheorems dargelegt wurde, wird dessen Beweis, der den Großteil dieser Arbeit darstellt, präsentiert. Den Abschluss des ersten Kapitels bildet eine Aussage zur Existenz unendlich vieler periodischer Orbits im Inneren eines Kreisrings, auf welche im folgenden Abschnitt Bezug genommen wird.
Mit Hilfe der Erkenntnisse aus dem Poincaré-Birkhoff Fixpunkttheorem wird im zweiten Kapitel dieser Arbeit das sogenannte Billardkugelproblem untersucht. Zu diesem Zweck wird zuerst eine Abbildung, die das Billardkugelproblem modelliert, parametrisiert, um damit unter Anwendung des Theorems über unendlich viele periodische Orbits die Existenz derer auf einem strikt konvexen Billardtisch zu zeigen. Bei dem Billardkugelproblem entsprechen Fixpunkte somit geschlossenen Billardbahnen, welche wir abschließend anschaulich interpretieren können.Schlussendlich liefert diese Arbeit einen Beweis des Poincaré-Birkhoff Fixpunkttheorems und eine Einführung in die Theorie der Billards.