Billards im Magnetfeld

Einleitung:

In der mathematischen Forschung werden klassische Billards intensiv hinsichtlich unterschiedlichster Aspekte untersucht. Billards beschreiben die Bewegung eines Massepunktes, des sogenannten Billardballs, in einem beschränkten Gebiet des \(\mathbb{R}^n, n \in \mathbb{N}\), dem Billardtisch, ohne Krafteinwirkung, bis auf einen  anfänglichen Anstoß. Beim An- stoß des Billardballs an den Rand des Gebiets tritt eine Reflexion auf, bei der die Energie erhalten bleibt. Anschließend bewegt sich der Billardball in eine neue Richtung gemäß des Reflexionsgesetzes weiter, bis er erneut an  den Rand stößt. So entsteht mit fortlaufender Zeit eine Billardbahn. Weitere Informationen zu klassischen Billards sind beispielsweise in [Tab05] zu finden. Wir stellen uns im Verlauf dieser Arbeit die Frage nach magnetischen Billards und der Änderung der Dynamik unter Einfluss eines magnetischen Felds. Genauso wie vorher bewegt sich der Billardball in einem beschränkten Gebiet des \(\mathbb{R}^n, n \in \mathbb{N}\), jedoch wird der Billardtisch zusätzlich von einem Magnetfeld durchstoßen. Anschaulich können wir uns ein geladenes Teilchen vorstellen, welches durch ein Magnetfeld von der Bahn seiner freien Bewegung abgelenkt wird. Die Bewegung des Billards unter Einfluss eines Magnetfeldes wird derart verändert, dass sie nicht mehr der typischen Bewegung eines Billards entlang von Geradensegmenten entspricht. Das Teilchen erfährt durch die vom Magnetfeld induzierte Lorentzkraft eine Ablenkung. Insbesondere verändert sich die Richtung der Bewegung, aber die Energie bleibt erhalten.
In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir geschlossene von einem Magnetfeld beeinflusste Orbits mit vorgegebener Energie auf diesem beschränkten Gebiet im  \(\mathbb{R}^n, n \in \mathbb{N}\). Dabei erklären wir sowohl deren Bewegung innerhalb des Billardtisches als auch das Verhalten am Rand, genauer gesagt das Reflexionsgesetz. Im Folgenden werden wir solche Orbits magnetische Anstoßorbits nennen. Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, zu zeigen, dass ab einem bestimmten Energiewert solche magnetischen Anstoßorbits auf einem Billardtisch im \(\mathbb{R}^n, n \in \mathbb{N}\), welcher von einem Magnetfeld durchstoßen wird, existieren. Des Weiteren zeigen wir, dass ein magnetischer Anstoßorbit höchstens dim(Billardtisch) + 1 Anstoßpunkte hat und wir geben eine implizite obere Schranke an die Periode dieser Orbits an.

Der in dieser Arbeit gegebene Beweis beruht auf dem Artikel Periodic Bounce Orbits of Prescribed Energy von Albers und Mazzuchelli, [AM11]. In diesem Artikel wird die Existenz von periodischen Anstoßorbits mit vorgeschriebener Energie auf einem Billardtisch im \(\mathbb{R}^n, n \in \mathbb{N}\), ohne den Einfluss eines Magnetfelds, gezeigt. Dabei beziehen sich die Autoren auf den Artikel [BG89], der die Existenz von periodischen Anstoßtrajektorien mit einer kleinen Anzahl von Anstoßpunkten beweist. Die beiden Beweise beruhen auf einem Approximationsschema, welches die sogenannte Penalty-Methode verwendet. Wir werden dieses Approximationsschema auch verwenden und es an den Einfluss des magnetischen Felds anpassen.

Zuerst zeigen wir für den Beweis der Existenz von magnetischen Anstoßorbits in Kapitel 2 das Setup auf und führen anschließend eine formale Definition eines magnetischen Anstoßorbits ein. Danach statuieren wir das wesentliche Theorem dieser Arbeit, welches obere Schranken an die Periode der Orbits liefert.
In Kapitel 3 erklären wir das bereits erwähnte Approximationsschema für das sogenannte Free-time-Wirkungsfunktional. Wir beweisen, dass eine Folge approximativer Lösungen dieses Funktionals gegen einen magnetischen Anstoßorbit mit vorgeschriebener Energie konvergiert, vorausgesetzt ihr Morse-Index ist uniform beschränkt.
Kapitel 4 liefert schließlich den Beweis des eingangs beschriebenen Theorems. Dafür übertragen wir das zuvor genannte Approximationsschema von der Lagrangeschen Sprache in seine entsprechende Hamiltonsche Formulierung via Legendre-Dualität und wenden darauf symplektische Strukturen in Hamiltonscher Dynamik an, um entsprechende Lösungen des Free-time-Wirkungsfunktionals zu finden.