Grenzen der Prädikatenlogik erster Stufe: Gödelscher Unvollständigkeitssatz und Satz von Löwenheim-Skolem

Das Ziel der vorliegenden Bachelorarbeit ist es, die Prädikatenlogik erster Stufe zu analysieren und dabei den ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatz sowie den Satz von Löwenheim-Skolem zu präsentieren. Beide dieser Sätze offenbaren gewisse Grenzen, die in der Prädikatenlogik auftreten und diese aber auch charakterisieren.

Zunächst wird die Prädikatenlogik erster Stufe durch formale Sprachen eingeführt und diese modelltheoretisch mit einer Semantik versehen. Anschließend wird die semantische Folgerung innerhalb der Prädikatenlogik durch einen sogenannten Sequenzenkalkül adäquat beschrieben, welcher erlaubt, Beweise rein syntaktisch darzustellen.

Ein zentrales Resultat der Arbeit ist der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz, welcher u.A. mithilfe von Berechenbarkeitstheorie bewiesen wird. Der Satz liefert in hinreichend mächtigen, konsistenten und axiomatisierbaren Theorien die Existenz von Aussagen, die weder beweisbar noch widerlegbar sind. Schlieÿlich wird mithilfe des Satzes von Löwenheim-Skolem und einer Folgerung des Endlichkeitssatzes die Unmöglichkeit unter- sucht, die Erfüllbarkeit einer Theorie auf Modelle mit beliebiger unendlicher Mächtigkeit einzuschränken.