Differentialgeometrie
Allgemein gesagt ist die Differentialgeometrie der Zweig der Mathematik, der sich mit der Geometrie unter Verwendung von Konzepten aus der Differentialrechnung beschäftigt. Dazu gehören Differentation und Integration, Differentialgleichungen, lineare Algebra, komplexe Analysis usw.
Die Hauptobjekte der Differentialgeometrie sind Mannigfaltigkeiten, welche die Verallgemeinerung von Kurven (eindimensionale Mannigfaltigkeiten) und Oberflächen (zweidimensionale Mannigfaltigkeiten) auf beliebige Dimensionen darstellen. Mannigfaltigkeiten sind lokal als euklidische Räume modelliert und eignen sich für die Übertragung von Differentialtechniken. Typischerweise besitzen die in der Differentialgeometrie untersuchten Mannigfaltigkeiten -- im Gegensatz zur Topologie -- eine zusätzliche "geometrische" Struktur: zum Beispiel eine Symmetriegruppe, die einige Invarianten definiert oder aufrechterhält, eine Riemannsche Metrik, welche die Messung von Abständen und Winkeln ermöglicht, oder eine symplektische Struktur, die einen Begriff des Volumens definiert.
Die Differentialgeometrie ist seit dem 19. Jahrhundert außerordentlich erfolgreich. Sie ist nach wie vor eines der aktivsten Gebiete der Mathematik und findet wertvolle Anwendungen in anderen Wissenschaften, von der Relativitätstheorie in der Physik bis zum maschinellen Lernen in den Computerwissenschaften. Die Forschungsstelle Geometrie & Dynamik an der Universität Heidelberg ist ein Zentrum für die Forschung in der Differentialgeometrie von Weltrang.