Symplektische Geometrie und Kontaktgeometrie
In der symplektischen Geometrie wird die Form eines Objekts dadurch bestimmt, indem man einen Weg findet, die vorzeichenbehafteten Gebiete von 2-dimensionalen Oberflächen zu messen (+ technische Bedingungen). Zwei Mannigfaltigkeiten sind symplektomorph, wenn es einen Diffeomorphismus gibt, der diese Flächen invariant lässt. Diese Art der Geometrie wurde schon vor langer Zeit entdeckt und tritt immer dann auf, wenn eine Metrik und eine nahezu komplexe Struktur auf natürliche Weise interagieren. Dies ist bei Phasenräumen der Fall, in denen symplektische Strukturen einen natürlichen Rahmen für die Hamilton-Dynamik bieten.
Lokal: Eine erste Erkundung des geometrischen Reichtums der symplektischen Strukturen ist eher ernüchternd: Örtlich sind alle symplektischen Mannigfaltigkeiten nach einem Satz von Darboux identisch. Warum ist diese Theorie dann interessant?
Global: Gromov entdeckte das Phänomen des "Nicht-Quetschens": Eine Kugel B2n(r) kann nicht symplektisch in einen Zylinder B2 x ℝ2n-2(R) mit r>R eingebettet werden. Es muss also globale Hindernisse für Einbettungen geben (und das Volumen ist ersichtlicherweise kein Kandidat). Die Entdeckung dieses Phänomens erfolgte spät (1985) und der Beweis ist schwierig; er betrifft im Wesentlichen den Mechanismus der pseudo-holomorphen Kurven.
Einige wichtige Themen, mit denen man sich in der symplektischen Geometrie befasst:
- Das Verhalten pseudo-holomorpher Kurven gibt Aufschluss sowohl über die Form symplektischer Räume als auch über ihre Hamiltonsche Dynamik. Wenn wir also die Kurven als Vermittler nutzen, können wir Schlussfolgerungen über dynamische Fragen angesichts der Form und andererseits über die Form angesichts dynamischer Informationen ziehen.
- Ein spezifischer Ansatz ist die Idee von Floer, Homologien zu konstruieren, deren Ketten Hamiltonsche Bahnen sind und deren Differential durch pseudo-holomorphe Kurven bestimmt wird. Die resultierende Homologie ist eine symplektische Invariante. Viele verschiedene Versionen der Floer-Homologie wurden konstruiert und weitere sind in der Entwicklung.
- Um die technischen Schwierigkeiten zu überwinden, wurde (und wird) eine Menge grundlegender Theorie entwickelt. Dies gilt sowohl für die Analyse (z. B. die Polyfold-Theorie) als auch für die Algebra (z. B. die Fukaya-Kategorie).
- Phasenräume sind von Natur aus symplektisch, so dass wir die oben genannten Mechanismen zur Untersuchung von Himmelsmechanik, magnetischen dynamischen Systemen, Billarddynamik usw. nutzen können. Die moderne Perspektive auf diese klassischen Themen liefert viele neue Erkenntnisse, z. B. über die minimale Länge von Umlaufbahnen oder die Chaostheorie.
- Wir sind ständig auf der Suche nach anderen symplektischen Strukturen an Orten, an denen sie bisher noch nicht wahrgenommen wurden. Zum Beispiel in der Spieltheorie oder bei Charaktervarietäten.